Comprendre et résoudre l’évolution de modèles en sciences sociales grâce à une équivalence avec des systèmes physiques

Des physiciens viennent de trouver un lien formel profond entre une classe d’équations utilisées en sciences sociales, les jeux à champ moyen quadratiques et une équation omniprésente en physique, l’équation de Schrödinger non linéaire. En transférant les méthodes et solutions de cette équation étudiée depuis près de cent ans en physique, ils apportent de nouveaux outils conceptuels permettant de dépasser les approches actuelles reposant sur la simulation numérique.

 

Il y a une dizaine d’années, des mathématiciens ont proposé un nouveau cadre conceptuel pour modéliser des phénomènes collectifs relevant de la sociologie ou de l’éthologie, tels que le comportement de foules, bancs de poissons et hordes animales, ou des sciences de l’ingénieur, avec par exemple l’optimisation de la consommation électrique pour le chauffage. Dans cette « théorie des jeux à champ moyen », le comportement d’un individu est déterminé par l’anticipation qu’il peut faire, en moyenne sur le bruit, des actions futures de l'ensemble des autres membres du groupe. Cette modélisation qui fait intervenir à la fois le passé et le futur conduit à des équations mathématiques relativement complexes. Excepté quelques cas simples, ces modèles sont par ailleurs le plus souvent abordés par le biais de simulations numériques, ce qui rend difficile une compréhension profonde de leur comportement. Des physiciens du Laboratoire de physique théorique et modèles statistiques (LPTMS, CNRS/ Univ. Paris Sud) et du Laboratoire de physique théorique et modélisation (LPTM, CNRS/Univ. Cergy-Pontoise) viennent d’établir un lien formel entre une classe particulière de ces jeux à champ moyen, les jeux dits « quadratiques », et une équation intervenant dans de nombreux phénomènes physiques et étudiée depuis près d’un siècle : l’équation de Schrödinger non linéaire. Ils ont alors transférer la bonne compréhension de cette équation et la connaissance de solutions à des situations complexes impliquant des groupes sociaux. Ils ont notamment montré comment certains schémas d’approximations telles que les approches variationnelles, bien connus dans le contexte de l’équation de Schrödinger non linéaire, permettent de décrire la formation de ces groupes et d’en comprendre les temps caractéristiques. Ce travail est publié dans la revue Physical Review Letters.

Les chercheurs ont analysé la modélisation d’une population d’individus qui évoluent dans un espace à une dimension pouvant représenter l’espace physique dans lequel ils se déplacent, ou bien la quantité d’une ressource naturelle dont ils disposent ou encore la valeur de leur investissement dans un portefeuille d’actions. La dynamique de ces individus contient une partie déterministe, contrôlée par l’individu lui même et visant à optimiser une certaine fonction de coût ainsi qu’une partie aléatoire. Les physiciens ont montré que sous certaines conditions un changement de variable non linéaire fait apparaître deux nouvelles quantités jouant le rôle de variables duales pour une équation de Schrödinger non linéaire, équation intervenant dans de très nombreux domaines de la physique, allant de la propagation d’une impulsion lumineuse dans une fibre optique aux vagues, en passant par des particules quantiques en interaction. Cette connexion fournit une nouvelle façon de penser ces modèles de jeux à champ moyen et a permis aux chercheurs d’importer dans ce contexte un ensemble de techniques et de méthodes d’approximations, développées au cours du temps par différentes communautés de physiciens. C’est le cas par exemple d’une classe de solutions de l’équation de Schrödinger non linéaire connue sous le nom de solitons. Ces solutions localisées se propagent indéfiniment sans déformation. Les chercheurs ont ainsi montré que des solutions de ce type existent dans certains modèles de jeux à champ moyen et peuvent servir à interpréter le comportement de différents groupes d’animaux tels que des bancs de poissons ou des hordes d’herbivores qui ont la propriété de se déplacer en « paquets localisés », c’est-à-dire comme des solitons.

Reference: Igor Swiecicki, Thierry Gobron, and Denis Ullmo, Phys. Rev. Lett. 116, 128701 (2016).