Internship: Étude de quelques problèmes de théorie des jeux à champ moyen

PROPOSITION DE SUJET DE STAGE DE M2

Responsable: Denis Ullmo 01 69 15 74 76

La théorie des jeux [1] propose d'étudier sur des modèles simples les stratégies optimales d'agents dans des situations où la conséquence d'un choix dépend des choix faits par le ou les autres agents, et donc de l'anticipation qu'on peut en faire. Ce type de modèles, s'ils permettent de mettre en lumière un certains nombre de mécanismes fondamentaux, devient rapidement impossible à analyser lorsque le nombre de joueurs devient important.

En s'inspirant du concept de champ moyen développé en physique, Pierre-Louis Lions et Jean-Michel Lasry on construit une approximation de la théorie des jeux à grand nombre de joueurs dans laquelle la stratégie d'un joueur donné est couplée à celle de l'ensemble des autres joueurs à travers un « champ moyen » qui traduit les conséquences globales des décisions des joueurs. Cette approche, même si elle simplifie considérablement la question à traiter amène typiquement cependant à un problème qui reste non trivial [2].

En effet, génériquement (dans le cadre des problèmes considérés par Lions et Lasry), la grandeur décrivant le champ moyen est soumise à un loi d'évolution de type Fokker-Planck qui est couplée à un autre champ, décrivant le processus d'optimisation d'un agent donné, soumis lui même à une équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman. On a donc à étudier un système d'équations différentielles couplées avec des conditions aux limites mixtes passé/futur.

Le but du stage sera d'étudier, sur un ou deux exemples, une version simplifié du problème de champ moyen dans laquelle on supposera qu'un mécanisme de perte de mémoire limite la portée du processus d'optimisation à des temps courts. Le travail comportera une partie analytique (description des échelles de temps pertinentes, solution perturbative du système d'équation couplée) et si possible une partie numérique (solutions exactes du problème). Une prolongation possible de ce travail serait de considérer comment une dynamique chaotique sous-jacente permettrait de justifier le processus de perte de mémoire introduit.

  • [1] Pour une introduction générale à la théorie des jeux, cf A. Rubinstein and M. Osborne, A course in game
    theory, MIT Press (1994) (http://www.economics.utoronto.ca/osborne/cgt/)
  • [2] Mean Field Games and Applications, O. Guéant, J.-M. Lasry and P.-L. Lions, in Paris-Princeton Lectures
    on Mathematical Finance 2010, Ed. Springer, January 2011

pdf