Statistique d’extrêmes de variables aléatoires fortement corrélées
Anthony Perret
La statistique des valeurs extrêmes est une question majeure dans divers domaines des sciences. Dans ce contexte, une question naturelle qui se pose alors est la suivante: ces valeurs extrêmes sont-elles isolées, loin des autres variables ou bien au contraire existe-t-il un grand nombre d’autres variables proches de ces valeurs extrêmes ? Cette question a suscité l’étude de la densité d’état de ces événements quasi-extrêmes. Il existe pour cette quantité peu de résultats pour des variables fortement corrélées, qui pourtant est le cas dans de nombreux modèles d’intérêt en physique statistique. Deux pistes de modèles physiques de variables fortement corrélées pouvant être étudiés analytiquement se démarquent : les positions d’une marche aléatoire et les valeurs propres de matrice aléatoire. Ce sont
les deux modèles que j’ai étudiés dans ma thèse. Après avoir très brièvement discuté le cas des marches aléatoires, je me concentrerai dans cet exposé au cas où la collection de variables aléatoires est l’ensemble des valeurs propres d’une matrice aléatoire gaussienne hermitienne de grande taille. Je discuterai plus particulièrement la distribution de l’écart entre les deux plus grandes valeurs propres pour laquelle j’ai obtenu une formule faisant intervenir des fonctions transcendantes de Painlevé. Les comportements asymptotiques de cette formule permettent par exemple de trouver des nouveaux régimes intéressants dans le modèle de Sherrington-Kirkpatrick sphérique.
The cavity method in routing optimization problems on networks.
Caterina De Bacco
In recent years the cavity method, or message-passing algorithm, has been successfully exploited by statistical physicists to solve combinatorial optimization problems such as the K-satisfability (K-SAT). In this talk we introduce this method and outline how it is applied to solve routing problems on communication or traffic networks. In this context the typical situation is where many users want to communicate at the same time over a given network. One then wants to optimize the overall routing by minimizing communication path length and the traffic overlap either at nodes or at edges given a set of constraints. We will show how the cavity method provides the algorithmic tools to tackle these types of optimization problems efficiently.