Séminaire du LPTMS: Robin Guichardaz

Dimensions fractales négatives dans des systèmes dynamiques aléatoires

Robin Guichardaz (E.N.S Lyon)

Les attracteurs étranges apparaissant dans des systèmes dynamiques chaotiques présentent une structure fractale, caractérisée par une dimension fractionnaire et positive. Une des définitions possibles de la dimension fractale, la dimension de corrélation, est liée à la densité de points dans l’espace des phases autour d’une trajectoire donnée. Cette densité évolue généralement en une loi de puissance en fonction de la séparation des trajectoires, de sorte que la dimension de corrélation est reliée simplement à l’exposant de cette loi de puissance.

Nous avons étendu cette notion au cas de systèmes dynamiques stochastiques stables, pour lesquels tous les exposants de Lyapunov sont strictement négatifs, ce qui signifie que toutes les trajectoires convergent in fine vers un attracteur ponctuel. Cependant, si nous ajoutons du bruit dans les équations du mouvement, contrairement à un étalement gaussien autour de l’attracteur, nous retrouvons une distribution en loi de puissance pour la séparation des trajectoires, indépendante du bruit additif. Nous interprétons l’exposant correspondant comme une dimension fractale, qui s’avère prendre des valeurs négatives.

Plus spécifiquement, nous avons étudié un modèle unidimensionnel décrivant la dynamique de particules inertielles dans un flot aléatoire. Nous exprimons la dynamique de séparation de trajectoires proches comme un processus de sédimentation dans un espace adapté. Nous présenterons des résultats issus de simulations numériques, ainsi que des outils analytiques permettant de déterminer la dimension de corrélation. Indépendamment du modèle, nous proposons une approche basée sur les grandes déviations et pouvant être utilisée dans l’étude de systèmes intermittents.

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Negative fractal dimensions in random dynamical systems :

In chaotic dynamical systems, strange attractors have fractal structures, characterized by a (positive) dimension. In particular, the correlation dimension is linked to the density of points in the phase space around a given trajectory. This density usually scales as a power-law in terms of the separation of trajectories, so that the correlation dimension is linked to the exponent of the power-law.

We extended this notion to the case of stable stochastic dynamical systems for which all the Lyapunov exponents are negative, meaning that all trajectories converge to a point-like attractor with probability unity. Nevertheless, in the presence of an additive noise, instead of a gaussian distribution linked to the additive noise we retrieve a power-law distribution for the separation of trajectories, independent of the additive noise. We interpret the corresponding exponent as a fractal dimension, which turns out to be negative.

Specifically, we illustrate these notions with a simple one-dimensional model of colloidal particles in a randomly generated flow. We reformulate the dynamics of close trajectories in terms of a sedimentation process in a suitable space. Both numerical determinations and analytic tools to compute the correlation dimension will be presented. We propose a large deviation approach, without reference to any specific model, which can be applied to the study of intermittent systems.


Date/Time : 30/05/2017 - 11:00 - 12:00

Location : LPTMS, salle 201, 2ème étage, Bât 100, Campus d'Orsay

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